Table of contents:
Contoh soal deret aritmatika beserta jawabannya akan dibahas secara lengkap dalam artikel ini. Mempelajari deret aritmatika, yang merupakan bagian penting dari matematika, akan membantu Anda memahami pola angka dan menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan urutan angka yang memiliki selisih tetap. Artikel ini akan memberikan pemahaman mendasar, rumus, contoh soal dengan tingkat kesulitan berbeda, hingga penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.
Dari pengertian deret aritmatika hingga penerapannya dalam kehidupan nyata, semua akan dijelaskan secara detail dan sistematis. Dengan contoh soal dan penyelesaian yang lengkap, diharapkan pembaca dapat memahami konsep deret aritmatika dengan lebih baik dan mampu menyelesaikan berbagai soal terkait.
Pengertian Deret Aritmatika: Contoh Soal Deret Aritmatika Beserta Jawabannya
Deret aritmatika merupakan suatu barisan bilangan yang memiliki pola penjumlahan yang tetap antara suku-suku berurutannya. Pola penjumlahan tetap ini disebut sebagai beda (b). Dengan memahami konsep deret aritmatika, kita dapat menghitung jumlah dari sejumlah suku dalam barisan tersebut dengan mudah dan efisien, tanpa perlu menjumlahkan setiap suku satu per satu.
Deret aritmatika berbeda dengan barisan aritmatika. Barisan aritmatika hanya menyusun bilangan-bilangan tersebut, sedangkan deret aritmatika adalah hasil penjumlahan dari bilangan-bilangan tersebut. Perbedaan mendasar ini akan dijelaskan lebih lanjut pada tabel di bawah.
Contoh Deret Aritmatika
Contoh deret aritmatika adalah 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Pada deret ini, beda (b) adalah 3 karena setiap suku diperoleh dengan menambahkan 3 pada suku sebelumnya (5 – 2 = 3, 8 – 5 = 3, dan seterusnya). Deret ini merupakan penjumlahan dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, 14.
Perbedaan Barisan dan Deret Aritmatika
| Karakteristik | Barisan Aritmatika | Deret Aritmatika |
|---|---|---|
| Definisi | Suatu susunan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berurutan. | Jumlah dari suku-suku dalam barisan aritmatika. |
| Contoh | 2, 5, 8, 11, 14 | 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 |
| Operasi | Menunjukkan urutan bilangan. | Menunjukkan penjumlahan bilangan-bilangan tersebut. |
Contoh Soal Cerita Deret Aritmatika
Seorang anak menabung setiap hari. Pada hari pertama ia menabung Rp1.000, hari kedua Rp1.500, hari ketiga Rp2.000, dan seterusnya. Berapa total tabungan anak tersebut setelah 10 hari?
Soal ini merupakan contoh penerapan deret aritmatika. Beda (b) pada soal ini adalah Rp500. Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, kita dapat menghitung total tabungan anak tersebut setelah 10 hari.
Ilustrasi Konsep Beda pada Deret Aritmatika
Bayangkan sebuah tangga. Setiap anak tangga mewakili satu suku dalam barisan aritmatika. Jarak vertikal antara setiap anak tangga yang berurutan mewakili beda (b). Jika kita menjumlahkan tinggi semua anak tangga (yaitu, menjumlahkan semua suku dalam barisan), kita akan mendapatkan jumlah total deret aritmatika. Tinggi setiap anak tangga konsisten, merepresentasikan beda yang tetap.
Rumus dan Sifat Deret Aritmatika
Deret aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berurutan. Memahami rumus dan sifat-sifatnya sangat penting untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan deret aritmatika. Berikut ini akan dijelaskan rumus-rumus dan sifat-sifat pentingnya, dilengkapi dengan contoh soal dan penyelesaiannya.
Rumus Suku ke-n (Un)
Rumus umum untuk mencari suku ke-n (Un) pada deret aritmatika adalah:
Un = a + (n-1)b
di mana:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama
- n = banyaknya suku
- b = beda (selisih antara dua suku berurutan)
Rumus ini memungkinkan kita untuk menentukan nilai suku berapapun dalam deret aritmatika, asalkan kita mengetahui suku pertama dan beda deret tersebut.
Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn)
Untuk mencari jumlah n suku pertama (Sn) deret aritmatika, kita dapat menggunakan rumus:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b) atau Sn = n/2 (a + Un)
di mana:
- Sn = jumlah n suku pertama
- a = suku pertama
- n = banyaknya suku
- b = beda
- Un = suku ke-n
Rumus ini sangat berguna ketika kita ingin menghitung total nilai dari sejumlah suku tertentu dalam deret aritmatika.
Sifat-Sifat Deret Aritmatika
Deret aritmatika memiliki beberapa sifat penting, antara lain:
- Selisih antara dua suku berurutan selalu konstan (sama). Ini merupakan definisi dasar dari deret aritmatika.
- Jumlah dua suku yang berjarak sama dari suku tengah selalu sama dengan dua kali suku tengah. Misalnya, dalam deret 2, 5, 8, 11, 14, jumlah suku pertama dan kelima (2 + 14 = 16) sama dengan dua kali suku tengah (2 x 8 = 16).
- Grafik deret aritmatika berupa garis lurus. Jika kita memplotkan nomor suku (n) terhadap nilai suku (Un) pada koordinat kartesius, akan dihasilkan sebuah garis lurus dengan kemiringan sama dengan beda (b).
Contoh Soal dan Penyelesaian
Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama a = 3 dan beda b =
5. Tentukan:
- Suku ke-10 (U10)
- Jumlah 10 suku pertama (S10)
Penyelesaian:
- Untuk mencari U10, kita gunakan rumus Un = a + (n-1)b. Substitusikan nilai a = 3, n = 10, dan b = 5:
- Untuk mencari S10, kita gunakan rumus Sn = n/2 (2a + (n-1)b). Substitusikan nilai a = 3, n = 10, dan b = 5:
U10 = 3 + (10-1)5 = 3 + 45 = 48
S10 = 10/2 (2(3) + (10-1)5) = 5 (6 + 45) = 5 (51) = 255
Atau, kita dapat menggunakan rumus Sn = n/2 (a + Un). Karena kita sudah mengetahui U10 = 48:
S10 = 10/2 (3 + 48) = 5 (51) = 255
Jadi, suku ke-10 adalah 48 dan jumlah 10 suku pertama adalah 255.
Contoh Soal Deret Aritmatika dan Penyelesaiannya
Deret aritmatika merupakan salah satu materi penting dalam matematika. Memahami konsep deret aritmatika dan mampu menyelesaikan soal-soalnya akan sangat membantu dalam berbagai bidang, mulai dari menyelesaikan masalah sederhana hingga memecahkan permasalahan yang lebih kompleks dalam ilmu terapan. Berikut ini beberapa contoh soal deret aritmatika dengan tingkat kesulitan yang bervariasi, beserta penyelesaiannya secara detail.
Contoh Soal Deret Aritmatika Mudah
Berikut ini tiga contoh soal deret aritmatika tingkat mudah beserta penyelesaiannya. Soal-soal ini dirancang untuk memperkenalkan konsep dasar deret aritmatika dan membantu memahami cara menghitung suku-suku deret serta jumlah suku-sukunya.
- Tentukan suku ke-5 dari deret aritmatika 2, 5, 8, 11, …
- Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 1, 4, 7, 10, …
- Suatu deret aritmatika memiliki suku pertama a = 3 dan beda b = 2. Tentukan suku ke-7 deret tersebut.
Penyelesaian:
- Rumus suku ke-n deret aritmatika: Un = a + (n-1)b, dengan a = suku pertama, b = beda, dan n = nomor suku. Pada soal ini, a = 2, b = 3 (5-2 = 3), dan n = 5. Maka U5 = 2 + (5-1)3 = 2 + 12 = 14. Jadi, suku ke-5 adalah 14.
- Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika: Sn = n/2 (2a + (n-1)b). Pada soal ini, a = 1, b = 3, dan n = 10. Maka S10 = 10/2 (2(1) + (10-1)3) = 5 (2 + 27) = 5(29) = 145. Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 145.
- Menggunakan rumus Un = a + (n-1)b, dengan a = 3, b = 2, dan n = 7. Maka U7 = 3 + (7-1)2 = 3 + 12 = 15. Jadi, suku ke-7 adalah 15.
Contoh Soal Deret Aritmatika Sedang
Contoh soal berikut ini memiliki tingkat kesulitan yang lebih tinggi, menuntut pemahaman yang lebih mendalam tentang konsep deret aritmatika dan kemampuan untuk menerapkan rumus-rumus yang relevan.
- Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 1 dan 100.
- Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-3 sama dengan 10 dan suku ke-7 sama dengan 22. Tentukan suku pertama dan beda deret tersebut.
Penyelesaian:
- Bilangan ganjil antara 1 dan 100 membentuk deret aritmatika 1, 3, 5, …, 99. a = 1, b = 2, dan Un = 99. Untuk mencari n, gunakan rumus Un = a + (n-1)b. 99 = 1 + (n-1)2. 98 = (n-1)2. n-1 = 49. n = 50. Kemudian, hitung jumlahnya menggunakan rumus Sn = n/2 (a + Un) = 50/2 (1 + 99) = 25(100) = 2500. Jadi, jumlah semua bilangan ganjil antara 1 dan 100 adalah 2500.
- Kita punya U3 = 10 dan U7 = Menggunakan rumus Un = a + (n-1)b, kita dapatkan dua persamaan: 10 = a + 2b dan 22 = a + 6b. Kurangi persamaan kedua dengan persamaan pertama: 12 = 4b, sehingga b =
3. Substitusikan b = 3 ke persamaan pertama
10 = a + 2(3), sehingga a = 4. Jadi, suku pertama adalah 4 dan beda adalah 3.
Contoh Soal Deret Aritmatika Sulit
Berikut ini contoh soal deret aritmatika yang membutuhkan pemahaman yang lebih komprehensif dan kemampuan untuk menggabungkan beberapa konsep deret aritmatika.
Jumlah tiga bilangan ganjil berurutan adalah 51. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan ketiga bilangan ganjil berurutan tersebut adalah x, x+2, dan x+4. Jumlahnya adalah x + (x+2) + (x+4) = 51. 3x + 6 = 51. 3x = 45. x = 15.
Ketiga bilangan tersebut adalah 15, 17, dan 19.
Contoh Soal Cerita Deret Aritmatika
Penerapan konsep deret aritmatika sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Berikut contohnya.
Seorang anak menabung setiap hari dengan jumlah yang selalu bertambah. Pada hari pertama ia menabung Rp1.000, hari kedua Rp1.500, hari ketiga Rp2.000, dan seterusnya. Berapa total tabungan anak tersebut setelah 30 hari?
Penyelesaian:
Tabungan anak tersebut membentuk deret aritmatika dengan a = 1000 dan b = 500. Kita ingin mencari S30. Menggunakan rumus Sn = n/2 (2a + (n-1)b), kita dapatkan S30 = 30/2 (2(1000) + (30-1)500) = 15 (2000 + 14500) = 15 (16500) = 247500. Jadi, total tabungan anak tersebut setelah 30 hari adalah Rp247.500.
Tabel Ringkasan Rumus dan Penyelesaian
| Rumus | Jenis Soal | Langkah Penyelesaian |
|---|---|---|
| Un = a + (n-1)b | Menentukan suku ke-n | Substitusikan nilai a, b, dan n ke dalam rumus. |
| Sn = n/2 (2a + (n-1)b) | Menentukan jumlah n suku pertama | Substitusikan nilai a, b, dan n ke dalam rumus. |
| Sn = n/2 (a + Un) | Menentukan jumlah n suku pertama (jika Un diketahui) | Substitusikan nilai a, n, dan Un ke dalam rumus. |
| Un = a + (n-1)b (digunakan untuk membentuk sistem persamaan) | Menentukan a dan b jika Un diketahui | Bentuk dua persamaan dari informasi yang diberikan, lalu selesaikan sistem persamaan tersebut. |
| x + (x+2) + (x+4) = 51 | Menentukan tiga bilangan ganjil berurutan | Bentuk persamaan berdasarkan informasi yang diberikan, lalu selesaikan persamaan tersebut. |
Penerapan Deret Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-hari
Deret aritmatika, meskipun tampak sebagai konsep matematika abstrak, nyatanya memiliki banyak penerapan praktis dalam kehidupan sehari-hari. Memahami pola dan rumusnya dapat membantu kita menyelesaikan berbagai permasalahan dengan lebih efisien dan akurat. Berikut beberapa contoh penerapannya.
Contoh Penerapan Deret Aritmatika: Menabung
Salah satu contoh paling sederhana adalah menabung secara teratur. Misalkan seseorang menabung setiap bulan dengan jumlah yang tetap bertambah. Misalnya, bulan pertama menabung Rp100.000, bulan kedua Rp150.000, bulan ketiga Rp200.000, dan seterusnya. Ini membentuk deret aritmatika dengan beda (selisih antara dua suku berurutan) sebesar Rp50.000. Dengan menggunakan rumus deret aritmatika, kita dapat menghitung total tabungan setelah beberapa bulan.
Contoh Penerapan Deret Aritmatika: Susunan Kursi di Aula
Bayangkan sebuah aula yang kursi-kursinya disusun secara baris. Baris pertama memiliki 10 kursi, baris kedua 12 kursi, baris ketiga 14 kursi, dan seterusnya. Ini juga merupakan deret aritmatika dengan beda 2. Dengan mengetahui jumlah baris dan jumlah kursi di setiap baris, kita dapat menghitung total kursi di aula tersebut menggunakan rumus deret aritmatika.
Ilustrasi: Susunan kursi tersebut membentuk pola yang jelas. Jika kita gambarkan, akan terlihat penambahan kursi yang konsisten di setiap baris berikutnya. Jumlah kursi pada setiap baris membentuk barisan: 10, 12, 14, 16, dan seterusnya. Selisih antara jumlah kursi di setiap baris selalu tetap, yaitu 2 kursi. Ini menunjukkan pola deret aritmatika yang jelas.
Contoh Penerapan Deret Aritmatika: Penambahan Berat Badan
Sebagai contoh lain, perhatikan skenario peningkatan berat badan seekor anak ayam yang sehat. Misalnya, setiap minggu berat badan anak ayam tersebut bertambah 10 gram. Minggu pertama 50 gram, minggu kedua 60 gram, minggu ketiga 70 gram, dan seterusnya. Pola ini membentuk deret aritmatika dengan beda 10 gram. Dengan menggunakan rumus deret aritmatika, kita bisa memprediksi berat badan anak ayam tersebut pada minggu tertentu.
Skenario Permasalahan dan Penyelesaiannya, Contoh soal deret aritmatika beserta jawabannya
Seorang petani ingin menanam pohon mangga di kebunnya. Ia merencanakan penanaman dengan pola baris. Baris pertama terdiri dari 5 pohon, baris kedua 8 pohon, baris ketiga 11 pohon, dan seterusnya hingga baris ke-10. Berapa total pohon mangga yang akan ditanam petani tersebut?
Penyelesaian: Ini merupakan deret aritmatika dengan suku pertama (a) = 5, beda (b) = 3, dan jumlah suku (n) =
10. Kita dapat menggunakan rumus jumlah deret aritmatika: Sn = n/2
– [2a + (n-1)b]. Dengan memasukkan nilai-nilai tersebut, kita dapatkan: S10 = 10/2
– [2(5) + (10-1)3] = 5
– [10 + 27] = 5
– 37 = 185.
Jadi, total pohon mangga yang akan ditanam adalah 185 pohon.
Ulasan Penutup
Setelah mempelajari berbagai contoh soal deret aritmatika beserta jawabannya, diharapkan pemahaman Anda tentang konsep deret aritmatika semakin matang. Kemampuan untuk mengidentifikasi pola, menggunakan rumus yang tepat, dan menyelesaikan berbagai jenis soal, akan sangat bermanfaat, baik dalam konteks pendidikan maupun aplikasi praktisnya dalam kehidupan sehari-hari. Dengan latihan yang konsisten, Anda akan mahir dalam menyelesaikan soal-soal deret aritmatika.
